Somma disgiunta

La somma disgiunta o unione disgiunta di due insiemi corrisponde all'unione insiemistica, realizzata in modo da considerare distinti elementi appartenenti ad insiemi distinti.

Definizione

Dati due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, la somma disgiunta di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è l'insieme:

${\displaystyle A\sqcup B=(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\}).}$

La definizione si può facilmente estendere per induzione alla somma disgiunta di un numero finito di insiemi, e anche alla somma di una qualunque famiglia di insiemi ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$:

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}(A_{i}\times \{i\}).}$

Proprietà

• Nel caso di insiemi disgiunti, la somma disgiunta è in corrispondenza biunivoca in modo naturale con l'unione insiemistica. Nel caso di due insiemi ${\displaystyle A,B}$ disgiunti, ad esempio, questa corrispondenza è la funzione da ${\displaystyle A\cup B}$ a ${\displaystyle A\sqcup B}$ che manda ${\displaystyle a\in A}$ in ${\displaystyle (a,0)}$ e ${\displaystyle b\in B}$ in ${\displaystyle (b,1)}$.
• Se gli insiemi sono tutti uguali fra loro (${\displaystyle A_{i}=A\,\forall i\in I}$), la loro somma disgiunta coincide con il prodotto cartesiano ${\displaystyle A\times I}$.
• La somma delle cardinalità di due insiemi è data dalla cardinalità della loro somma disgiunta.
• Nel linguaggio SQL, la somma disgiunta corrisponde all'operatore UNION ALL.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Cardinalità di un insieme
• Prodotto cartesiano

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Disjoint Union, su MathWorld, Wolfram Research.